Căutați ceva anume?

sâmbătă, 11 septembrie 2010

Elicea este o curbă deschisă

-(1009111236) Este o provocare să înţeleg în ce măsură elicea este o curbă închisă în spaţiul cuadridimensional, dacă nu neapărat şi elicea de curbură variabilă, atunci măcar elicea de curbură constantă. Pentru aceasta îmi trebuie comparaţia continuă cu cercul.

-(1009111240) Cercul este o curbă în plan şi are curbura constantă. Să înţeleg oare că o elice de curbură constantă este un „cerc” în spaţiul cuadridimensional? Pentru ca analogia dintre plan şi spaţiu, precum şi dintre cerc şi elice să fie cât de cât acceptabilă, poate ar trebui ca şi pentru plan să existe oarece „formule ale lui Frenet”. Există aşa ceva?

-(1009111244) Păi, să vedem. Formulele lui Frenet prezintă legătura dintre versorii asociaţi unei curbe şi derivatele lor. Ceva de genul ar trebui să fie şi „formulele lui Frenet” pentru plan. Atunci, versorii asociaţi unei curbe în plan ar fi tangenta şi normala. Atunci, formulele lui Frenet pentru plan ar putea fi tocmai formulele lui Frenet pentru spaţiu, particularizate pentru cazul când torsiunea este nulă.

-(1009111249) Pentru plan avem, deci, formulele lui Frenet

.

-(1009111312) Poate că ceva analog trebuie să fie şi cu formulele lui Frenet pentru spaţiu, în sensul că şi acestea sunt un caz particular pentru nişte formule ale lui Frenet mai generale. Particularizarea ar fi făcută, tot aşa, prin simpla anulare a unui parametru. De fapt, ce-mi bat capul cu aşa ceva? Doar există deja stabilite aceste formule mai generale. Interesant ar fi de văzut dacă şi aceste formule mai generale implică existenţa unei teoreme de recurenţă a formulelor lui Frenet. Dar asta este o altă poveste, şi poate o voi analiza cu altă ocazie. Acum să revenim la închiderea elicei.

-(1009111330) Este elicea o curbă închisă sau nu? Am scris formulele lui Frenet pentru plan. Mă ajută aceste formule ca să aflu ceva în plus despre închiderea elicei? Scot ele în evidenţă vreo asemănare între cerc şi elice? Elicea este o curbă a cărei tangentă (şi binormală) face un unghi constant cu o dreaptă fixă. Este şi cercul ceva asemănător? Sau, dacă elicea este relevantă pentru că raportul dintre curbura şi torsiunea ei este constant, atunci pentru ce ar fi relevantă o curbă din spaţiul cuadridimensional, curbă a cărei relevanţă ar trebui să depindă deja de trei parametri, nu doar de doi cum e în cazul elicei?

-(1009111352) Am impresia că proprietatea relevantă pentru elice nu este aceea că tangenta face un unghi constant cu o dreaptă fixă, ci aceea că normala este perpendiculară pe o dreaptă fixă. Da' nu-i adevărat! Perpendicularitatea normalei pe o dreaptă fixă este valabilă pentru orice curbă, nu doar pentru o elice! Aşa că tot unghiul dintre tangentă şi acea dreaptă fixă este cel relevant.

-(1009111359) Da' nu te mai măcina atât! Aminteşte-ţi că preocuparea pentru curbele închise a venit din considerente tridimensionale, căci ciocnirea plastică închide traiectoriile tridimensionale, nu pe cele cuadridimensionale. Mai precis, pe noi ne interesează închiderea tridimensională, nu cea cuadridimensională. Şi, e clar, în spaţiul tridimensional elicea nu este o curbă închisă.

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate