Căutați ceva anume?

vineri, 1 ianuarie 2010

Cercetări decembrie 2009

Cercetările mele din luna decembrie 2009


(Vineri, 11 decembrie 2009)

-(13:15). Ştim că pentru orice corp avem posibilitatea ca el să se translateze şi să se rotească. O forţă produce translaţie, iar un cuplu produce rotaţie. Totuşi, se pare că se neglijează astăzi o posibilitate foarte importantă pe care am putea-o alătura translaţiei şi rotaţiei: dilatarea.
-(13:17). Din punctul meu de vedere, consider că trebuie să admitem că un corp se poate şi dilata, nu doar translata sau roti. Translaţia unui corp este descrisă de vectorul viteză liniară. Rotaţia unui corp este descrisă de viteza unghiulară. Cu ce putem descrie dilatarea? Cu viteză de dilatare, evident.
-(13:19). Aşadar, n-avem decât să studiem şi acest foarte important tip de mişcare numit dilatare. Ce putem studia la dilatare? Să vedem ce comparaţii putem face cu translaţia şi rotaţia. Translaţia este dată de un vector polar, iar rotaţia este dată de un vector axial. S-ar părea că dilatarea este dată de un pseudoscalar. Aşa-mi spune mie intuiţia, dar nu garantez că dilatarea este dată de un pseudoscalar sau doar de un scalar.
-(13:25). O altă proprietate a dilatării pe care trebuie să o studiem (în comparaţie cu proprietatea analoagă a translaţiei, respectiv a rotaţiei) este inerţia acesteia. Ştim că un corp lăsat liber se translatează şi se roteşte cu viteză constantă (pardon, cu impuls constant, respectiv, cu moment cinetic constant). Oare să fie aceeaşi situaţia şi cu dilatarea? Oare un corp „lăsat liber” se dilată la nesfârşit cu viteza de dilatare constantă (pardon, cu impuls volumic constant?)?
-(13:33). Oare dilatarea nu are legătură cu sarcina electrică a corpului? Nu cumva un corp încărcat într-un fel se dilată într-un sens, iar corpul încărcat în celălalt fel se dilată în celălalt sens (se contractă)?
-(13:42). Când un corp se translatează, se modifică poziţia lui liniară. Când acesta se roteşte, se modifică poziţia lui unghiulară. Ce se modifică atunci când un corp se dilată? Ce fel de poziţie se modifică în acest caz? Cum vom numi această poziţie?

(Sâmbătă, 12 decembrie 2009)

-(9:42). Mă preocupă în continuare caracterizarea poziţiei unui corp şi formalizarea ei în limbaj matematic pentru a cuprinde atât poziţia liniară şi unghiulară, cât şi poziţia de dilatare.
-(10:30). Un singur punct nu are decât poziţie de translaţie? Iar un sistem de două puncte poate avea şi poziţie de translaţie şi poziţie de rotaţie şi poziţie de dilatare?
-(10:45). Dacă studiem proprietăţile mişcării Universului, atunci la acesta nu vom găsi translaţie, ci doar rotaţie şi eventual dilatare. Să fie atunci o legătură profundă între translaţie şi dilatare, în sensul de a o putea deduce pe una din cealaltă? Mai precis, oare un corp care se translatează se şi dilată obligatoriu? Sau, dacă vreţi, translaţia unui corp face parte din dilatarea Universului?
-(13:25). Dacă ne enervăm puţin, putem spune chiar că şi rotaţia este un fel de dilatare, ba chiar şi translaţia, un fel de dilatare imaginară, complexă, cuaternionică.
-(13:27). Totuşi, în ultimă instanţă, putem spune că orice corp este alcătuit din puncte, deci am putea să reducem orice mişcare la translaţie. Dar ceva nu mă lasă să fac această reducţie. Nu sunt sigur că avem dreptul să înlocuim orice corp cu o mulţime de puncte, în primul rând pentru că nu ştim exact ce este punctul. Mai degrabă ştim ce este un corp decât ce este un punct. Mai degrabă vedem în jurul nostru corpuri decât puncte.
-(13:31). Iată, deci, că tocmai datorită acestor dileme, încă nu ştiu ce este nici măcar un corp. Aş fi mulţumit dacă aş şti ce noţiune matematică îi pot atribui unui corp. Să fie aceasta un vector, să fie un bivector, un trivector, o matrice, un tensor, un cuaternion, un ce anume? Care noţiune matematică este capabilă să spună totul despre un corp? Despre un corp abstract, bineînţeles, nu despre un telefon mobil sau despre o floare.
-(13:35). Corp abstract, zici? Şi ce este acela „corp abstract”, mă rog? Este o sferă, un cilindru, un tetraedru?
-(13:37). Păi, cred că ar trebui să considerăm un corp geometric tridimensional cât mai dezordonat posibil, dar şi cât mai simplu. Acesta ar putea fi, într-adevăr, un tetraedru.
-(13:45). Şi, totuşi, există şi posibilitatea ca un cilindru să fie mai simplu decât un tetraedru şi suficient de dezordonat pentru a exprima toate proprietăţile unui corp abstract. Când spun asta mă bazez pe faptul că scala unui reper poate fi definit

(Duminică, 13 decembrie 2009)

-(22:30). Am impresia că aş putea fi ceva mai tupeist, spunând că pentru unul şi acelaşi punct aflat în mişcare putem vorbi atât de translaţie şi rotaţie, cât şi de dilatare.
-(22:32). De exemplu, un punct care se deplasează pe o elice se translatează de-a lungul axei elicei, se roteşte în jurul axei elicei şi se îndepărtează sau se apropie de axa elicei. Ultima mişcare poate fi numită dilatare.
-(22:36). Această interpretare ne aduce aminte din nou de legătura dintre translaţie şi dilatare (mai sus spuneam că e posibil ca translaţia unui corp să se datoreze dilatării Universului), în sensul că dacă raportul dintre curbură şi torsiune este constant, atunci dilatarea (modificarea razei elicei) şi translaţia (modificarea pasului elicei) sunt intercondiţionate.
-(22:46). Trebuie să mai observăm ceva important. Spuneam că translaţia ar echivala cu modificarea pasului, ceea ce poate părea puţin bizar având în vedere că un corp se poate translata şi pe o elice de pas constant. Poate ar fi mai corect să spunem că translaţiei îi corespunde existenţa pasului nenul. Atunci am putea spune, prin analogie, că şi dilatării îi corespunde simpla existenţă a razei nenule şi nu neapărat variaţia acestei raze.

(Marţi, 15 decembrie 2009)

-(21:26). Mă gândesc că un gaz perfect conţine molecule care se deplasează pe traiectorii de ordinul unu, deci pe elice. De asemenea, tare mă tem că legea gazelor perfecte este tocmai relaţia dintre viteza unghiulară a triedrului Frenet, viteza pe elice şi lambda (radicalul sumei pătratelor curburii şi torsiunii). Mai concret, vitezei unghiulare i-ar corespunde temperatura, vitezei liniare i-ar corespunde presiunea, iar lui lambda i-ar corespunde volumul.
-(21:34). Dar dacă temperatura ar fi echivalentă cu viteza unghiulară, atunci ar însemna că temperatura scade cu viteza relativistă. Oare se observă o scădere a temperaturii unui gaz pe măsură ce gazul este văzut de un observator din ce în ce mai rapid? Cine poate şti? Cel mai bine ar fi să mă gândesc mai mult la certitudini. Oare este cert că moleculele unui gaz ideal se mişcă pe elice? Oare tocmai asta să fi însemnând gaz ideal?

(Joi, 17 decembrie 2009)

-(9:39). Având în vedere că lambda are dimensiunile inversului unei lungimi, constat că avem şi posibilitatea „inversă” de a considera că trebuie să asociem volumului unui gaz perfect inversul lui lambda, nu lambda însuşi. Atunci am avea de considerat relaţia elicei dată de

,

care, pusă în legătură cu legea gazelor perfecte exprimată prin relaţia

,

ne sugerează analogia dintre viteza unghiulară şi presiune, inversul lui lambda şi volum, precum şi între viteză şi temperatură.
-(9:59). Relaţia dintre viteză şi temperatură nu pare a fi una deosebită, pare naturală, chiar cunoscută. Tocmai de aceea, această nouă interpretare pare a fi cea corectă pe care merită să ne-o însuşim. Aşadar, doamnelor şi domnilor, viteza unghiulară cu care se roteşte triedrul Frenet asociat moleculelor unui gaz perfect ne dă presiunea gazului, inversul lui lambda ne dă volumul acestui gaz, iar viteza cu care se deplasează moleculele de-a lungul elicei ne dă temperatura gazului respectiv.
-(10:15). Pentru un gaz imperfect, moleculele nu se mai deplasează pe o traiectorie elicoidală de ordinul unu, ci pe traiectorii mai complicate, de ordine mai superioare şi diferite.
-(10:45). E foarte interesantă chestia că viteza unghiulară a triedrului Frenet ne dă presiunea.
-(10:48). Oare toate moleculele unui gaz perfect se deplasează cu aceeaşi viteză pe elice cu aceeaşi curbură şi torsiune? Tare mă tem că răspunsul este afirmativ!
-(10:52). Stai puţin! De unde ştii tu că toate moleculele au aceeaşi curbură şi torsiune? Poate doar raportul dintre acestea două este constant şi acelaşi sau poate doar radicalul (lambda).
-(10:58). De fapt, în ipoteza că volumul gazului depinde de lambda, trebuie să recunoaştem că e mare probabilitatea ca acest lambda să fie acelaşi pentru toate moleculele.
-(11:06). Ar trebui să definim volumul unei traiectorii elicoidale. Acesta ar putea fi dat de volumul cilindrului elementar pe care îl descrie elicea într-o perioadă. Adică, am putea spune că volumul elementar al unei elice este

.

-(11:11). Cât este acest volum în funcţie de lambda şi de raportul dintre curbură şi torsiune?
-(11:25). Oare ce strigă la noi importanta lege a lui Avogadro? Oare ce ne spune ea în legătură cu proprietăţile traiectoriilor pe care le urmează moleculele? Nu cumva ne spune tocmai câte noduri şi ventre are traiectoria elicoidală a moleculelor din gazul respectiv?
-(11:37). Putem specula ceva interesant aici. Putem presupune că în fiecare nod al unei elice se află o moleculă. Ba chiar putem spune, dacă suntem suficient de îndrăzneţi, că în fiecare nod al elicei apare (se naşte, se creează) o moleculă.
-(11:41). Această ultimă interpretare ne-ar putea obliga să ajungem la concluzia că moleculele (deci nodurile elicei) sunt în repaus şi că de-a lungul elicei (deci şi între noduri) se mişcă de fapt altceva, ceva corpuri uşoare elementare a căror traiectorie se întortochează puternic în apropierea moleculelor, întortochere care poate fi considerată responsabilă pentru existenţa şi proprietăţile moleculelor din nodurile respective.
-(11:46). Aici avem dreptul să ne amintim de problemele pe care le ridicam în 15 septembrie 2008 în legătură cu jetul de gaz emis de un motor puternic de rachetă



şi am putea considera că există o legătură între nodurile şi ventrele acelui jet şi nodurile şi ventrele traiectoriilor dintr-un gaz perfect.
-(11:53). Omule, ascultă aici şi nu mai debita atâtea bazaconii! Dacă moleculele ar fi în repaus, atunci cum ar putea crea ele presiune în gaz? Ce s-ar mai lovi de pereţii incintei în care se află gazul, dacă moleculele ar fi în repaus? Şi tocmai tu ziceai adineauri că temperatura gazului este dată de o viteză. Care viteză? A cui?
-(12:12). Mda, ai oarece dreptate să pui asemenea probleme. Trebuie să ne gândim mai bine la acele „particule” intermediare dintre molecule. Oare ele creează presiunea? Ce sunt ele? Nu pot fi considerate tocmai molecule? Ce m-a determinat oare să cred că moleculele ar apărea în nodurile traiectoriilor şi că ar fi în repaus? Mi s-a părut că ar putea exista o analogie cu proprietăţile undelor şi că moleculele ar fi un fel de noduri ale reţelei în care se plimbă valurile.
-(12:25). Păi, ia stai aşa! Ce ar fi dacă am considera că moleculele sunt în repaus şi că particulele intermediare sunt tocmai atomii componenţi ai moleculelor?
-(12:31). Să vedem... Ştim că noduri şi ventre nu pot apărea decât într-o elice cu lambda (deci şi cu omega) variabil. De aceea, este fundamental să nu uităm de importanţa acestei variaţii şi să o luăm în considerare ca fiind un parametru foarte important al oricărei mişcări. Observaţi, de exemplu, că în studiul anterior al mişcării moleculelor într-un gaz perfect nu am ţinut seama de acest parametru atunci când am postulat că există o legătură între proprietăţile traiectoriei moleculelor şi proprietăţile termodinamice ale gazului perfect.
-(12:46). Aşadar, cum se reflectă variaţiile curburii şi torsiunii traiectoriilor în proprietăţile termodinamice ale gazului perfect?
-(13:18). Mă gândesc că acele noduri care apar în jetul emis de un motor de rachetă pot fi desprinse din jet prin anumite metode de suflare transversală. Prin aceasta, nodul respectiv ar putea exista independent de jet întocmai cum moleculele pot fi considerate entităţi individuale. Mă mai gândesc că fulgerele globulare nu sunt altceva decât asemenea „molecule” desprinse dintr-un jet atmosferic asemănător jetului emis de motorul de rachetă.
-(13:24). Şi, aşa cum nodurile şi ventrele din jetul emis de motorul de rachetă sunt în repaus, tot astfel am putea deduce că şi moleculele din gazul perfect (ajuns la echilibru) ar putea fi în repaus. Mişcarea lentă a nodurilor şi ventrelor ar putea constitui convecţia, iar mişcarea foarte rapidă a fluxului de particule (atomi) care creează moleculele ar putea constitui conducţia.

(Vineri, 25 decembrie 2009)

-(19:36). Cred că atunci când vorbim despre planetele gazoase, greşim, ele fiind, de fapt, planete solide, dar a căror atmosferă este mai groasă datorită capacităţii mai mari a acelei planete mai masive de a reţine atmosfera.
-(19:39). Am făcut această observaţie deoarece absenţa structurilor solide din planetele gazoase concomitentă cu prezenţa unor planete solide ar cam veni în contradicţie cu o Fizică unificatoare a mişcării precum se vrea a fi Fizica elicoidală, pentru că ar trebui căutate explicaţii exotice pentru un comportament atât de bizar al naturii în sistemul solar.
-(19:45). Ba chiar s-ar putea trage concluzia că există un fel de strat solid în jurul fiecărei structuri, iar în exteriorul şi interiorul acelui strat de materie ar fi ceva asemănător gazului. Am putea să ne amintim aici chiar şi de faptul că pe măsură ce ne îndepărtăm de Soare creşte masa planetelor până la nivelul lui Jupiter (care ar putea fi considerat ca fiind tocmai la nivelul „stratului”), după care scade masa planetelor pe măsură ce ne îndepărtăm de Jupiter.
-(19:49). Poate chiar există mai multe asemenea straturi, în funcţie de cât de mare este ordinul structurii în jurul căreia determinăm straturile. Poate că o structură de ordinul unu are un singur strat, iar o structură de ordinul n are n straturi.
-(19:56). De exemplu, structura numită sistemul solar ar avea ca strat orbita planetei Jupiter, dar dacă şi Soarele are un strat solid, atunci acel strat al Soarelui ar putea fi considerat ca fiind al doilea strat al sistemului solar. Şi aşa mai departe.
-(20:01). Având în vedere şi faptul că triedrele Frenet vecine ale unei traiectorii au orientări opuse, este foarte posibil ca şi straturile vecine ale unei structuri să se rotească în sensuri opuse. Mă gândesc aici şi la inelul Phoebe al lui Saturn care se roteşte în sens invers faţă de celelalte inele ale frumoasei planete.
-(20:24). Ştim că singurul lucru comun (caracteristic) pentru componentele unei structuri trebuie să fie axa generală. Toate componentele structurii trebuie să se rotească în jurul aceleiaşi axe generale.
-(20:26). Mai ştim că la o structură stabilă, aflată aproape de echilibru şi departe de influenţele exterioare, trebuie ca majoritatea parametrilor să se menţină constanţi. Unul dintre aceşti parametri este volumul structurii. Aceasta înseamnă că elicea pe care se deplasează componentele structurii nu se dilată sau contractă, deci curbura şi torsiunea rămân constante.


(Sâmbătă, 26 decembrie 2009)

-(14:38). Aş studia acum elicea de torsiune variabilă. Ştim că elicea de torsiune variabilă are neapărat raportul dintre curbură şi torsiune constant, deci trebuie ca şi curbura să varieze în acelaşi sens ca şi torsiunea. Variaţia acestor parametri se răsfrânge şi în variaţia vitezei unghiulare cu care se roteşte triedrul Frenet.
-(14:41). Presupunem acum că variaţia torsiunii este sinusoidală. Mai precis, presupunem că torsiunea variază în timp după legea



-(16:47). Atunci, curbura (care trebuie să fie proporţională cu torsiunea) va depinde de timp după legea



unde



este raportul constant dintre curbură şi torsiune.

-(16:56). Observaţi că această dependenţă sinusoidală implică apariţia a patru constante. Nu e cam mult pentru o mişcare ce ar trebui să fie considerată simplă şi fundamentală? Oare ar trebui să considerăm că torsiunea este tocmai egală cu curbura, deci că raportul lor ar fi unitar? Aceasta ar reduce la trei numărul constantelor implicate.

(Duminică, 27 decembrie 2009)

Despre axiomatizarea Fizicii

-(20:04). Mi-ar plăcea să pot scrie cu preponderenţă definiţii, axiome, teoreme şi demonstraţii. Eventual să mai presărăm nişte exemple ale definiţiilor şi aplicaţii ale teoremelor. Cum ar trebui să procedez pentru a putea fi atât de riguros?
-(20:07). Păi, stai aşa! Asta ar însemna axiomatizarea Fizicii. Ori noi ştim că Fizica nu este încă axiomatizată. Chiar şi matematica are probleme cu axiomatizarea ei, în sensul că există mai multe curente de axiomatizare? Eu aş prefera logicismul. Logicismul pentru că natura este logică şi nu poate fi altfel.
-(20:39). Evident, între Fizică şi matematică există o legătură foarte strânsă, aşa că axiomatizarea Fizicii se poate inspira din cea a matematicii. În primul rând, ne trebuie nişte definiţii. Pentru început, trebuie să formulăm definiţiile foarte importante pentru fundamentele Fizicii. Care sunt aceste definiţii?
-(20:43). Evident, una dintre cele mai importante definiţii din Fizică ar fi aceea dată pentru noţiunea de „corp”. Ce este corpul? Oare există şi altceva decât corpuri? Oare nu putem considera chiar şi câmpurile ca fiind constituite din corpuri?
-(20:45). Sau, mult mai important, având în vedere că noţiunile din matematică sunt deja foarte bine definite, care dintre noţiunile matematicii ar putea fi echivalată cu noţiunea de corp?
-(20:49). Noţiunea de punct nu pare suficientă pentru că nu permite decât translaţie. Trebuie o noţiune care să permită şi translaţie şi rotaţie, dar şi dilatare. Oare sunt suficiente aceste trei tipuri de mişcare?
-(20:54). Mi se învârt în minte o mulţime de probleme: poate că tensorii ar fi buni, poate că tensorul de inerţie spune multe despre un corp, poate că ar mai trebui să înglobăm în tensorul de inerţie şi inerţia la dilatare (căci cea de translaţie şi de rotaţie este deja înglobată), poate că ar trebui să introducem, pe lângă tensorul simetric de inerţie, şi unul antisimetric (ce ar caracteriza poate chiar dilatarea), completând astfel un tensor cu nouă componente distincte.
-(21:01). Nu-mi place! Nu e bine! Trebuie să ne concentrăm la noţiuni matematice independente de reper! Tensorul depinde de reper! Mi-am amintit asta când vorbeam de cele nouă componente ale unui tensor complet, căci un tensor simetric (cu cele şase componente ale sale) poate fi redus la forma diagonală, cu doar trei componente nenule şi distincte. Aşadar, tensorii depind de reper şi nu-i putem considera buni. Trebuie să căutăm alte noţiuni matematice pe care să le asociem unui corp şi care să nu depindă de reper, de orientarea reperului sau de scala acestuia.
-(21:06). Un exemplu de noţiune matematică independentă de reper este modulul unui vector. Cu anumite rezerve, atenţie, căci modulul ar putea depinde de scala reperului! Offff! Chiar şi modulul depinde de reper? Ce noţiune să aleg atunci?
-(21:09). Dacă e atât de complicat, atunci am putea spune că în Univers nu există altceva decât puncte materiale şi că orice corp nu este altceva decât un ansamblu de puncte materiale. Şi uite-aşa, ajung şi eu unde au ajuns deja şi dragii mei înaintaşi!
-(21:12). Stai aşa, că nu renunţ eu aşa uşor! Trebuie să fie ceva cu corpurile astea, pentru că oricine ştie că un corp are „personalitate”, poate fi înţeles ca un ansamblu individual compact. Corpul este calitativ diferit de punct, căci un corp conţine o infinitate de puncte. Există undeva o esenţă ce caracterizează un corp. Trebuie să evidenţiem cumva acea esenţă.
-(21:17). Privesc flaconul cu apă aflat lângă mine pe masă. Prin ce se manifestă el ca şi corp? Ce mă face să cred că flaconul nu conţine şi telefonul mobil de pe masă sau chiar acest netbook drag pe care scriu aceste rânduri? Un nou-născut ar face aceste confuzii, pentru că nu are experienţa mea. Singurul lucru care îmi permite mie să cred că flaconul are individualitatea sa este doar experienţa pe care o am în spate, amintirea mişcărilor pe care le poate avea flaconul supus unor anumitor forţe din exterior.
-(21:23). Bun, şi să înţeleg atunci că nu am găsit încă un criteriu clar pentru a defini un corp?
-(21:36). Ok, fii atent! Hai să mai facem o încercare! Ştim că orice corp are un centru de masă. Unui centru de masă (din Fizică) îi putem asocia un punct (din matematică). Acuma, de ce nu ar fi suficient acest un singur punct? Ar fi suficient doar dacă orice forţă din Univers ar acţiona direct spre centrul de masă, mai precis, dacă orice forţă ar avea ca suport o dreaptă ce trece prin centrul de masă. Şi cred că nici atunci nu ar fi suficient, decât în cazul corpurilor rigide.
-(22:20). Poate ar fi mai eficient să trag concluzii din modul în care se mişcă un corp supus acţiunilor exterioare. În acest sens, ar fi bine să analizăm efectele pe care le poate produce un câmp asupra unui corp. Ştim că un câmp gravitaţional modifică numai componenta vitezei paralelă cu câmpul. Dar viteza are trei componente reciproc perpendiculare. Înseamnă că, pe lângă componenta vitezei paralelă cu câmpul, mai rămân de analizat două componente reciproc perpendiculare aflate în planul perpendicular pe câmpul gravitaţional.
-(22:46). Prin urmare, suntem obligaţi de circumstanţele matematice impuse de structura spaţiului tridimensional să admitem că un câmp gravitaţional este însoţit în fiecare punct al său de un alt câmp cu liniile perpendiculare pe liniile câmpului gravitaţional.
-(22:53). Oare această pereche de câmpuri poate descrie complet efectul pe care îl poate avea o influenţă externă asupra unui punct material? Nu cumva este necesară şi prezenţa celui de-al treilea câmp cu liniile perpendiculare pe liniile celorlalte două câmpuri prezente deja?
-(23:00). Iar am ajuns la o complicaţie, într-un fel inutilă. Puteam să mă rezum la a admite că viteza poate fi modificată de un câmp ce modifică modulul vitezei, de un câmp ce modifică direcţia vitezei şi de un câmp ce modifică unghiul pe care îl face viteza cu viteza de rotaţie a vitezei.
-(23:03). Interesant este că, în contextul observaţiei de mai sus, putem admite că în absenţa câmpului extern rămân constanţi toţi cei trei parametri ai vitezei, adică modul, viteză de rotaţie şi unghi. Iar această constanţă este echivalentă cu deplasarea corpului pe o elice! Şi astfel, elicea revine din nou în atenţia noastră, în mod inevitabil.
-(23:06). Putem spune, aşadar, că în absenţa câmpurilor externe un punct material se deplasează pe o elice cu torsiune constantă. În plus, în prezenţa unui câmp (gravitaţional+magnetic+electric) extern, se modifică modulul vitezei, viteza de rotaţie a vitezei şi unghiul dintre viteză şi viteza de rotaţie.
-(23:10). Şi cu acestea spuse, iar mă gândesc la Saturn, la vitezele pe care le au particulele de acolo, aflate într-un câmp gravitaţional puternic şi într-un câmp magnetic puternic!

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate